Россия
Россия
Россия
УДК 519.853 Нелинейное программирование
Статья посвящена разработке метода расчета треугольных весовых коэффициентов в нечеткой задаче принятия решения. Цель работы – повышение точности определения треугольных весовых коэффициентов. Для достижения указанной цели применена совокупность методов научного и эмпирического исследования: анализ и декомпозиция проблемы на две задачи, методы математического программирования и нечеткой математики, метод сравнения. Искомые весовые коэффициенты представлены в параметрическом виде с неодинаковыми параметрами нечеткости, что позволило выделить и формализовать две задачи: определение модальных значений и задачу определения параметров нечеткости. Обе задачи сформулированы в терминах нелинейного математического программирования. Предложенный метод отличается от известных тем, что в качестве оптимизируемых переменных использованы параметры нечеткости треугольных чисел, которые приняты неодинаковыми для левой и правой границ во всех весовых коэффициентах. Предложенный подход позволил повысить точность определения весовых коэффициентов. Проверку точности проводили методом сравнения с известным методом LLSM на двух матрицах. Расчеты показали, что интегральная абсолютная ошибка предложенного метода более чем в два раза меньше, чем у известного метода по каждой из матриц.
матрица, попарное сравнение, весовые коэффициенты, треугольные числа, параметр нечеткости, нелинейное программирование, система ограничений, абсолютная точность
Метод анализа иерархий в нечеткой постановке (НМАИ) применяется для решения многокритериальных задач принятия решений в случае, когда хотя бы один из критериев (признаков, показателей, факторов) является качественным, неточным, нечетким или трудноизмеримым. В результате формального представления критериев возникает неопределенность, связанная с опытом, предпочтениями, интуицией и индивидуальными суждениями лиц, принимающих решения. В НМАИ указанные неопределенности учитываются с помощью нечетких чисел. Одними из основных задач этого метода являются получение нечеткой матрицы попарных сравнений (НМПС) и определение нечетких весовых коэффициентов, которые предназначены для учета степени важности критерия в аддитивной свертке, то есть для учета неодинакового влияния каждого критерия на конечную оценку, поставленную в соответствие каждой альтернативе.
В публикации [1] предложена модификация НМАИ, в которой относительный приоритет проектов определяют, используя четкий метод анализа иерархий. Метод нечеткого логического вывода используется для фазификации входных и выходных переменных и для получения глобальных приоритетов проектов. В работе не приведена оценочная шкала для ранжирования проектов по критериям. Метод Чанга [2] – наиболее известный метод получения весовых коэффициентов, именуемый также как метод расширенного анализа. Суть метода состоит в нахождении степени предпочтительности нормализованных построчных сумм в НМПС и весовых коэффициентов как отношения степени предпочтительности строки к сумме предпочтительностей всех строк. Наибольшей критике метод Чанга подвергается за возможность получения нулевых значений весовых коэффициентов, что означает исключение некоторых критериев из аддитивной свертки.
В работе [3] проведен детальный анализ метода Чанга, на примерах показана иррациональность применения этого метода в нескольких практических приложениях. В работе [4] предложен метод программирования нечетких предпочтений FPP, в результате которого получают четкие весовые коэффициенты (приоритеты) из неполного множества нечетких суждений. Формально решение задачи представлено в виде математической модели нелинейного математического программирования с системой ограничений. В работе введена степень согласованности нечетких суждений, которую получают при экстремальном значении целевой функции. Положительное значение степени согласованности означает согласованность, а отрицательное – не согласованность НМПС. Метод получения весовых коэффициентов на основе генетического алгоритма [5] идейно базируется на математических соотношениях метода FPP, но для решения оптимизационной задачи применяется метод эволюционного поиска – генетический алгоритм, предложена мера согласованности нечетких суждений. Результаты расчетов весовых коэффициентов методом FPP и методом на основе генетического алгоритма согласуются. Известна группа методов расчёта весовых коэффициентов, основанных на дефазификации НМПС [6–8] с последующим вычислением вектора весовых коэффициентов по стандартной процедуре четкого метода анализа иерархий. Дефазификация элементов НМПС проводится методом центра тяжести. В публикациях [9, 10] использованы метрики (расстояния по Евклиду или Хеммингу) для представления нечеткого числа четким интервалом. Все вышеупомянутые методы позволяют определить точечные или четкие интервальные значения весовых коэффициентов. Однако наиболее адекватным представлением весовых коэффициентов, соответствующих природе треугольной НМПС, являются треугольные весовые коэффициенты – нечеткие множества. Одним из наиболее известных методов получения треугольных весовых коэффициентов является «модифицированный нечеткий логарифмический метод наименьших квадратов (LLSM)» [3]. Неизвестные весовые коэффициенты находятся из выражения для суммы квадратов разностей логарифмов отношения весовых коэффициентов треугольных нечетких чисел НМПС (левой и правой границ, модального значения), представляющих собой нелинейную целевую функцию. Система ограничений представлена линейными уравнениями и неравенствами для левых и правых границ и основного уравнения нормализованных модальных значений. Недостаток метода LLSM состоит в большом расстоянии между левой и правой границами [4] при его использовании в различных приложениях.
В связи с вышеизложенным повышение точности определения треугольных весовых коэффициентов является актуальной задачей, решение которой позволит повысить уровень обоснованности и достоверности принятия решения в многокритериальных задачах.
Цель работы – разработка метода получения треугольных весовых коэффициентов повышенной точности.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
‒ получить модальные и граничные значения весовых коэффициентов;
‒ определить нечеткие треугольные весовые коэффициенты;
‒ -выполнить сравнение точности расчета треугольных весовых коэффициентов известным (LLSM) и предлагаемым методами.
Методы исследования
В процессе исследований в работе был использован комплекс теоретических и эмпирических методов научного познания. Метод анализа применен после декомпозиции проблемы на две части: задачу нахождения модальных значений и задачу нахождения граничных значений треугольных нечетких весовых коэффициентов. Анализ выделенных задач показал, что каждая из них может быть сведена к оптимизационной задаче и решена методом нелинейного математического программирования [11]. В качестве целевых функций использована метрика Хемминга (интегральная абсолютная ошибка) между расчётными выражениями и фактическими значениями элементов НМПС. При выводе математических соотношений использованы методы нечеткой математики для операций над нечеткими треугольными числами и их представлениями в параметрическом виде. Для подтверждения повышенной точности расчетных значений треугольных весовых коэффициентов применен метод сравнения интегральной абсолютной ошибки разработанного и известного (LLSM) методов нахождения треугольных весовых коэффициентов на двух НМПС, взятых из литературных источников, включая зарубежные.
Результаты исследования
Пусть дана матрица с элементами в виде нечетких треугольных попарных сравнений Ã.
Каждый элемент НМПС Ã может быть представлен в виде отношения треугольных весовых коэффициентов:
где – левая и правая границы треугольных чисел матрицы (1); – мода треугольного числа матрицы (1); – нечеткие треугольные весовые коэффициенты i-го и j-го критерия; ; n – размерность матрицы.
Весовые коэффициенты, включая и нормализованные, можно записать в параметрическом виде с неодинаковыми параметрами нечеткости:
где – моды весовых коэффициентов i-го и j-го критерия; – параметры нечеткости левой границы весовых коэффициентов i-го и j-го критерия; – параметры нечеткости правой границы весовых коэффициентов i-го и j-го критерия.
Тогда, согласно уравнению (2), получаем:
Из выражения (4) следует, что:
Поскольку выражение для моды не зависит от параметров нечеткости, то определение величины может быть осуществлено в рамках отдельной оптимизационной задачи с целевой функцией:
и ограничениями, связанными с нормализацией весовых коэффициентов.
Целевую функцию (6) можно понимать как расстояние по Хеммингу или абсолютную ошибку между исходными и расчетными значениями мод. В результате компьютерного решения нелинейной задачи математического программирования с целевой функцией (6) и ограничениями (7) получаем числовые значения . Поскольку уравнение (5) выполняется приближенно, то получение неизвестных , может быть осуществлено в рамках решения оптимизационной задачи с целевой функцией:
Систему ограничений получим из следующих соображений: левые границы – неотрицательные числа, разности, находящиеся в знаменателях (8), ‒ не равны нулю, все параметры нечеткости ‒ не отрицательные числа. То есть получаем следующую систему ограничений:
Оптимизационная задача с целевой функцией (8) и ограничениями (9) относится к нелинейным задачам математического программирования и в общем случае решается численными методами, например, с помощью функции «Поиск решения» в программе Microsoft Office Excel. Результатом решения являются значения и , по которым совместно с ранее найденными модами по формуле (3) находят нормализованные треугольные весовые коэффициенты.
Сравнение точности расчета весовых коэффициентов предложенным методом и наиболее известным и широко применяемым методом LLSM выполним на двух НМПС, взятых из литературных источников, включая зарубежные. Матрица , приведенная в работе [12], содержит следующие треугольные элементы:
Расчет треугольных весовых коэффициентов предложенным методом для матрицы (10) показал следующие результаты:
По полученным значениям весовых коэффициентов рассчитаем элементы НМПС:
Используя полученные расчетные данные, составляем расчетную НМПС:
Найдем интегральную (суммарную) абсолютную ошибку между элементами исходной и расчетной матрицами, используя расстояние по Хеммингу:
Аналогичные расчеты проведем, используя метод LLSM. В публикации [12] приведены расчетные значения треугольных весовых коэффициентов, , , полученные методом LLSM. Легко заметить ошибочность расчетов для , поскольку правая граница треугольного числа меньше его моды. Поэтому авторами пересчитаны значения ,, методом LLSM, используя математические модели, приведенные в источниках [3], [12]. Уточненные значения весовых коэффициентов имеют вид:
Аналогично предыдущим вычислениям, получим расчётную НМПС для метода LLSM:
Интегральная абсолютная ошибка между матрицами и равна .
Сравнивая и , заключаем, что интегральная абсолютная ошибка предложенного метода в 2,32 раза меньше, чем у метода LLSM.
Проверим точность предложенного метода еще на одной НМПС [4], имеющей вид:
Предложенный метод расчёта весовых коэффициентов показал следующие результаты для матрицы :
Вычисляя отношения , получим расчетную матрицу попарных сравнений :
Интегральная абсолютная ошибка между элементами матрицы и равна .
Применяя известный метод LLSM к матрице , получим следующие значения весовых коэффициентов:
Проводя вычисления, аналогичные вышеприведенным, имеем расчетную матрицу попарных сравнений :
Расчеты показывают, что интегральная абсолютная ошибка между матрицами и равна Таким образом, предложенный метод в 2,38 раза точнее метода LLSM.
Заключение
Разработан новый метод расчета треугольных весовых коэффициентов, основанный на параметрическом представлении треугольного числа и использовании методов нелинейного математического программирования. Точность предложенного метода определена методом сравнения с известным методом LLSM на двух тестовых матрицах, заимствованных из литературных источников. Расчеты показали, что интегральная абсолютная ошибка предложенного метода более чем в два раза меньше, чем у метода LLSM.
Таким образом, при использовании предложенного метода получены треугольные весовые коэффициенты с повышенной точностью, что позволяет повысить достоверность и обоснованность решения многокритериальных задач в различных областях экономики, горноспасательного дела, пожарной безопасности, оценке рисков чрезвычайных ситуаций и др.
1. Артамонов В.С., Лабинский А.Ю., Уткин О.В. Модернизация нечеткого метода анализа иерархии // Науч.-аналит. журн. «Вестник С.-Петерб. ун-та ГПС МЧС России». 2016. № 4. С. 77-84.
2. Chang D.Y. Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP // European Journal of Operational Research. 1996. Vol. 95. P. 649-655.
3. Ying-Ming Wang, Ying Luo, Zhongsheng Hua. On the extent analysis method for fuzzy AHP and its applications // European Journal of Operational Research. 2008. Vol. 186. P. 735-747.
4. Tsvetinov P., Mikhailov L. Reasoning Under Uncertainty During Pre-Negotiations Using a Fuzzy AHP // Applied soft computing. 2004. Vol. 5. P. 23-33.
5. Дубровин В.И., Миронова Н.А. Метод получения вектора приоритетов из нечетких матриц попарных сравнений // Искусственный интеллект. 2009. № 3. С. 77-84.
6. Cheng R.W., Che Wei Chang, Hung-Lung Lin. A fuzzy ANP-based approach to evaluate medical organization performance // International Journal of Information and Management Sciences. 2008. Vol. 19. № 1. P. 53-74.
7. Liao S.H., Lu K.C., Cheng C.H. Evaluating anti-armor weapon using rankin fuzzy numbers // Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences. 2000. Vol. 16. № 2. P. 241-257.
8. Prabjot K.A., Mahanti N.C. Fuzzy ANP-based approach for selection ERP vendors // International Journal of Soft Computing. 2008. Vol. 10. № 2. P. 241-257.
9. Xinfan W. Fuzzy Number Intuitionistic Fuzzy Arithmetic Aggregation Operators // International Journal of Fuzzy Systems. 2008. Vol. 10. № 2. P. 92-103.
10. Ting-Yu Chen, Tai-Chun Ku. Importance-Assessing Method with Fuzzy Number-Valued Fuzzy Measures and Discussions on TFNs And TrFNs // International Journal of Fuzzy Systems. 2008. Vol. 10. № 2. P. 104-111.
11. Тоха Х.А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Вильямс, 2005. C. 912.
12. Скороход А.Б. Применение нечеткого метода анализа иерархий в задаче оценки конкурентных позиций предприятия // Экономика и управление. 2011. № 5. C. 104-110.
