Пожары и чрезвычайные ситуации (ЧС) в случае запаздывания с принятием мер по их локализации и ликвидации могут носить каскадный характер, достигать больших масштабов, представлять угрозу для людей и отрицательно сказываться на функционировании пострадавших объектов.
Это в полной мере относится к автостоянкам [1], в том числе подземным (рис. 1 а). Возгорание автомобиля, если он не будет потушен автоматической установкой пожаротушения (АУП) [2] или прибывшим пожарным караулом [3], может привести к горению соседних автомобилей (рис. 1 б), быстрому росту опасных факторов пожара (ОФП) [4, 5] и угрозе жизни и здоровью водителей, пассажиров и персонала автостоянки [6]. Ремонтно-восстановительные работы после пожара (рис. 1 в) могут оказаться весьма затратными и потребовать значительное время.
Вопросам моделирования пожаров на автостоянках посвящены труды как отечественных [7, 8], так и зарубежных авторов [9, 10]. Однако существенной сложностью является то, что такого рода пожары могут приводить к каскадному развитию чрезвычайных ситуаций, когда при распространении огня загораются несколько автомобилей [11, 12]. В этой связи представляется целесообразным проводить моделировании опасных процессов, которые могут носить каскадный характер, в частности пожаров автомобилей в подземных автостоянках.
Математические модели каскадных процессов пожара на автостоянке
Для моделирования каскадного развития пожара на автостоянке может быть применен известный математический аппарат цепей Маркова [13, 14]. Для примера будут рассмотрены три сценария возможных пожаров: когда горит один автомобиль, два автомобиля и три автомобиля, а также происходит их тушение и восстановление автостоянки для последующей эксплуатации. Графы переходов для вышеуказанных сценариев приведены на рис. 2, пояснения состояний – в табл. 1.
Состояния процессов при каскадном развитии пожара на автостоянке
|
Сценарий |
Состояния |
Граф переходов |
|
1 |
S0 – нормальное функционирование автостоянки; S1 – горит один автомобиль; S2 – тушение автомобиля и проведение |
Рис. 2 а |
|
2 |
S0 – нормальное функционирование автостоянки; S1 – горит один автомобиль; S2 – загорелся соседний автомобиль; S3 – тушение автомобилей и проведение аварийно-восстановительных работ |
Рис. 2 б |
|
3 |
S0 – нормальное функционирование автостоянки; S1 – горит один автомобиль; S2 – загорелся соседний автомобиль; S3 – загорелся другой соседний автомобиль; S4 – тушение автомобилей и проведение аварийно-восстановительных работ |
Рис. 2 в |
Следует обратить внимание, что после тушения пожара необходимо проведение аварийно-восстановительных работ (анализ состояния несущих конструкций и кабельного хозяйства, удаление копоти и обломков, косметический ремонт и т.п.), то есть приведение автостоянки из состояния после пожара (рис. 1 в) в состояние нормального функционирования (рис. 1 а).
Задача исследования заключается в том, чтобы по начальным значениям вероятностей {P0} состояний {S} и «весам» дуг {lij} оценить динамику вероятностей состояний {P(t)} и конечные состояния {Pк} при установившихся процессах. Это позволит в итоге установить, насколько система противопожарной защиты автостоянки эффективна, и даст возможность ей устойчиво находиться в состоянии S0 нормального функционирования либо приведет к необходимости принятия мер по повышению вероятности P0 за счет изменения весов дуг {lij}.
Такая задача может решаться с использованием цепей Маркова как с дискретным, так и с непрерывным временем.
Моделирование каскадного развития пожара цепями Маркова с дискретным временем
Применение цепей Маркова с дискретным временем предполагает в качестве «весов» дуг использовать вероятности переходов, то есть {lij}→{pij}, образующие матрицы переходов Р, и пошаговое определение динамики вероятностей каждого i-го состояния 
→
→
→…→
. Данный алгоритм подробно описан в книгах [15, 16], но ввиду значительной трудоемкости реализуется компьютерными методами [17]. Основные требования к матрицам переходов Р: сумма элементов в каждой строке =1, все элементы неотрицательные.
Определение вероятностей состояний автостоянки рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1. Пусть при сценарии № 1 (рис. 2 а) вероятность возгорания автомобиля
в подземной автостоянке за анализируемый период р01=0,01, вероятность тушения р12=0,1, вероятность восстановления автостоянки р20=0,2, а в начальный момент автостоянка функционирует в нормальном режиме: =1 (очевидно: = =0).
Проведенное компьютерное моделирование пошаговым методом показало (ввиду ограниченности объема статьи протокол расчета не приводится, пример такого протокола приведен в статье [18]), что процесс возгорания – тушения – восстановления автостоянки стабилизируется на 71-м шаге, вероятности состояний принимают значения:
Пример 2. Пусть при сценарии № 2 (рис. 2 б), как и ранее, р01=0,01, вероятность тушения автомобиля р13=0,1, вероятность перехода пожара на соседний автомобиль р12=0,2, вероятность тушения пожара на автостоянке р23=0,05, а вероятность восстановления автостоянки р30=0,3. В начальный момент =1, = = 
=0.
Процесс возгорания – тушения – восстановления автостоянки стабилизируется позже – на 151-м шаге, вероятности состояний: 
=0,8333;
Пример 3. Пусть при сценарии № 3 (рис. 2 в), как и ранее, р01=0,01, вероятность тушения автомобиля р14=0,1, вероятность перехода пожара на соседний автомобиль р13=0,2, вероятность тушения этих двух автомобилей р24=0,05, вероятность перехода пожара
на другой соседний автомобиль р23=0,3, вероятность тушения всех трех автомобилей р34=0,03. В начальный момент =1, = = = 
=0.
Процесс возгорания – тушения – восстановления автостоянки стабилизируется еще позже – на 203-м шаге, вероятности состояний: 
=0,7888;
Тем не менее вышеописанный подход имеет недостатки: сложность определения вероятностей переходов {pij}, трудоемкость вычислений и невозможность получения результирующих аналитических выражений (хотя в работе [17] такие выражения были получены для частного случая). Это аспекты, безусловно, затрудняют применимость марковских цепей с дискретным временем.
Моделирование каскадного развития пожара цепями Маркова с непрерывным временем
В этой связи наш выдающийся математик А.Н. Колмогоров еще в 30-х гг. ХХ в. показал, что если существует предел:
то можно от вероятностей переходов {pij} перейти к интенсивностям переходов {λij}, размерность которых обратная единицам времени [15]. На практике это означает переход от марковских цепей с дискретным временем к цепям с непрерывным временем t, а также, что такие цепи можно описывать системами обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть получать в итоге прямые аналитические выражения для оценки вероятностей состояний цепи: Pi(t, λij).
Для нашего случая в графах переходов на рис. 2 «веса» дуг {lij} заменяются на интенсивности переходов {λij}. Применительно к рассматриваемым сценариям (табл. 1) системы дифференциальных уравнений, соответствующие графам на рис. 2, приведены
в табл. 2.
Решение дифференциальных уравнений, приведенных в табл. 2, при начальных условиях Р0(0)=1, Рi>0(0)=0 было получено в явном виде. В частности, для сценария № 1:
Выражения для вероятностей Pi(t), i=0, 1, 2 … состояний автостоянки при сценариях 2 и 3 также имеют экспоненциальный вид, но ввиду их громоздкости здесь не приводятся.
Однако с практической точки зрения интерес представляют установившиеся режимы в цепях, когда dPi/dt →0, то есть автостоянки длительное время работают в режиме «нормальное функционирование – пожар – тушение – восстановление». При этом системы дифференциальных уравнений (табл. 2) преобразуются в системы линейных алгебраических уравнений. Выражения для вероятностей Pi(t→∞), i=0, 1, 2 … состояний автостоянки имеют вид:
– для сценария № 1:
Нахождение вероятностей состояний автостоянки, полученных с использованием марковских цепей с непрерывным временем, рассмотрим на примерах.
Пример 4. Пусть при сценарии № 1 (рис. 2 а) возгорание автомобиля в подземной автостоянке может происходить с интенсивностью λ01=0,01, интенсивность тушения λ12=0,1, интенсивность восстановления автостоянки λ20=0,2. Требуется найти вероятности состояний автостоянки при установившемся режиме работы.
Оценка вероятностей состояний автостоянки, проведенная по выражению (1), позволила получить следующий результат:
Величины интенсивностей приняты условно.
Пример 5. Пусть при сценарии № 2 (рис. 2 б), как и ранее, λ01=0,01, интенсивность тушения автомобиля λ13=0,1, интенсивность перехода пожара на соседний автомобиль λ12=0,2, интенсивность тушения пожара на автостоянке λ23=0,05, а интенсивность восстановления автостоянки λ30=0,3. Как и ранее, требуется найти вероятности состояний автостоянки при установившемся режиме работы.
Оценка вероятностей состояний автостоянки, проведенная по выражению (2), позволила получить следующий результат:
Пример 6. Пусть при сценарии № 3 (рис. 2 в), как и ранее, λ01=0,01, интенсивность тушения автомобиля λ14=0,1, интенсивность перехода пожара на соседний автомобиль λ13=0,2, интенсивность тушения этих двух автомобилей λ24=0,05, интенсивность перехода пожара на другой соседний автомобиль λ23=0,3, интенсивность тушения всех трех автомобилей λ34=0,03. Как и ранее, требуется найти вероятности состояний автостоянки
при установившемся режиме работы.
Оценка вероятностей состояний автос
Как видим, результаты оценок вероятностей состояния автостоянки для сценариев пожара 1–3, найденные в примерах 5–6 с использованием цепей Маркова с непрерывным временем, совпадают с аналогичными результатами, полученными в примерах 1–3, что подтверждает их правильность.
Выводы
Таким образом, в статье рассмотрены три сценария каскадного развития пожара на подземной автостоянке и получены согласующиеся оценки вероятностей состояний автостоянки двумя способами – с использованием цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем.
В дальнейшем представляется целесообразным рассмотреть сценарии каскадного развития ситуации, когда помимо пожара на автостоянке автомобиля на жидком топливе существует риск взрыва газобаллонного автомобиля, а также загорания электромобиля [19].
